Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì ? Bất đẳng thức Bunhiacopxki bao gồm công thức gì, hệ trái gì và cách chứng tỏ từng hệ quả thế nào cùng những dạng việc thường găp là phần nhiều phần kiến thức quan trọng, thpt Lê Hồng Phong sẽ giải đáp qua bài viết sau đây. Bạn tò mò nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI


1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?

Bạn đã xem: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng tỏ và bài xích tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi đúng là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, đây là một bất đẳng thức do tía nhà toán học chủ quyền phát hiện và đề xuất, nó có nhiều ứng dụng trong các nghành nghề toán học. Ở nước ta, để cho cân xứng với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này bọn họ cũng sẽ gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên bên Toán học fan Nga Bunhiacopxki.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức bcs

2. Phương pháp của bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ còn khi 

*

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki đến 2 bộ số:

Với hai cỗ số 

*
 và 
*
 ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi 

*

Với quy ước nếu một trong những nào kia (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0

*
*

Thì:

  

*

Đạt được khi:

  

*

Hệ quả 2:Nếu:

  

*

Thì:


  

*


đạt được khi:

  

*


  

*


Dấu “=” sảy ra khi và chỉ còn khi:

  

*

3. Những dạng tuyên bố của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki bao gồm các dạng sau đây:

a. Dạng cơ bản

*
*
*
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

*

*

*
 (điều đề xuất chứng minh)

Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi a = b = c

Bài 2: Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức 

*

Lời giải:

*

Điều kiện: 

*

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

*

*

A max = 2 khi 

*
(thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi còn chỉ khi x = 3

Bài 3: Chứng minh rằng nếu như a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có phường là nửa chu vi thì 

*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

*

*
(điều phải chứng minh)

Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi 

*
 hay tam giác là tam giác đều

b. Bài luyện tập thêm

Bài 1: Tìm giá trị béo nhất của những biểu thức sau:

a, 

*

b, 

*

Bài 2: Cho a, b, c là những số thực dương tùy ý. Chứng tỏ rằng:

*

(gợi ý: thay đổi vế trái thành 

*
 rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Bài 3: Cho a, b, c là những số thực dương, . Minh chứng rằng:

*

Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn nhu cầu abc = 1. Hội chứng minh:

*

Bài 5: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn x2 + y2 ≤ x + y. Hội chứng minh:

x + 3y ≤ 2 + 

*

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là trong những nhánh quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bất đẳng thức này này hay được sử dụng nhiều trong những bài toán chứng tỏ bất đẳng thức nâng cao. các em hãy ùng tmec.edu.vn Education tò mò về công thức tính, cách chứng minh và bài bác tập bất đẳng thức Bunhiacopxki qua bài viết dưới đây.

Xem thêm: Những Bài Hát Ru Con Hay Nhất, Hát Ru Con Ngủ, 13 Bài Hát Ru Cho Bé Ngủ Ngon Hay Và Ý Nghĩa


*

Bất đẳng thức Bunhiacopxki mang tên gọi lúc đầu bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz sau đó rút gọn gàng lại điện thoại tư vấn theo tên ở trong phòng toán học người Nga Bunhiacopxki. Bất đẳng thức này vì 3 bên toán học phân tích và phạt triển. Trong nghành nghề dịch vụ toán học, bất đẳng thức này được ứng dụng tương đối nhiều để giải các bài toán minh chứng bất đẳng thức và tìm cực trị.

Công thức bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:


eginaligned&(a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2).(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) ≥ (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2\& extDấu “=” xảy ra khi fraca_1b_1 = fraca_2b_2 =... = fraca_nb_n\endaligned

*

small extNếu a_1x_1 +... + a_nx_n = C ext thì min(x_1^2+...+x_n^2)=fracCa_1^2+...+a_n^2 extđạt được lúc fracx_1a_1 =... = fracx_na_n

eginaligned&small extNếu x_1^2 +...+ x_n^2 = C^2 ext (không đổi) thì:\&small ull Max(a_1x_1+...+a_nx_n)=C.sqrta_1^2+...+a_n^2 ext đã đạt được khi a_1x_1 =... = a_nx_ngeq0.\&small ull Min(a_1x_1+...+a_nx_n)=-C.sqrta_1^2+...+a_n^2 ext với dấu "=" xảy ra khi a_1x_1 =... = a_nx_nleq0.\endaligned

*

Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki

Các em có thể minh chứng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau:

Ta có:


eginaligned&(a^2+b^2)(c^2+d^2)geq(ac+bd)^2\&Leftrightarrow(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 ≥ (ac)^2 + 2abcd + (bd)^2\&Leftrightarrow (ad)^2 + (bc)^2 ≥ 2abcd\&Leftrightarrow (ad)^2 - 2abcd + (bc)^2 ≥0\&Leftrightarrow (ad - bc)^2 ≥ 0 ext (luôn đúng)endaligned

Bài tập bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9

Bài tập 1: cho các số a, b, c là những số thực dương bất kỳ. Chứng tỏ rằng:


eginaligned&footnotesize sqrtfraca + ba + b + c+sqrtfracb + ca + b + c+sqrtfracc + aa + b + c\&footnotesize Leftrightarrow 1.sqrtfraca + ba + b + c+1.sqrtfracb + ca + b + c+1.sqrtfracc + aa + b + cleqsqrt(1+1+1)left(fraca + ba + b + c+fracb + ca + b + c+fracc + aa + b + c ight)\&footnotesize Leftrightarrow sqrtfraca + ba + b + c+sqrtfracb + ca + b + c+sqrtfracc + aa + b + cleq sqrt3.left\&footnotesize Leftrightarrow sqrtfraca + ba + b + c+sqrtfracb + ca + b + c+sqrtfracc + aa + b + cleq sqrt3.2=sqrt6 ext (điều phải chứng minh)\&footnotesize extDấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi các giá trị a = b = cendaligned\
Bài tập 2: Tìm giá chỉ trị lớn nhất (max) của biểu thức sau:


P=sqrtx-2+sqrt4-x
Hướng dẫn:


eginaligned&footnotesize P=sqrtx-2+sqrt4-x\&footnotesize extĐiều kiện: 2 ≤ x ≤ 4\&footnotesize extÁp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki, ta có:\&footnotesize (1.sqrtx -2 + 1.sqrt4 -x)^2 ≤ (1^2 + 1^2).(x - 2 + 4 - x) = 2^2 = 4\&footnotesize⟹ P^2 ≤ 4\&footnotesize ⟺ -2 ≤ p ≤ 2\&footnotesize extP đạt giá trị lớn nhất lúc P = 2 ⟺ frac1sqrtx -2 = frac1sqrt4 -x ⟺ x - 2 = 4 - x ⟺ x = 3 (TMĐK)\&footnotesize extVậy P_max = 2 ⟺ x = 3endaligned

eginaligned&fraca^2b+c+fracb^2c+a+fracc^2a+bgeqfrac(a+b+c)^2(a+b)+(b+c)+(c+a)=frac(a+b+c)^22(a+b+c)=fraca+b+c2\& extĐẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi các số a = b = cendaligned